선형방정식과 선형시스템

항등 행렬과 역행렬

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- 주어진 변수들의 계수가 같다고 하여 상수 형태로 나타남. b는 상수, 계수라고 부르는데, 알려진 값이 변수가 된다.

 

- 선형대수는 코딩을 할 때도 한번에 설명 가능. 좌변의 것을 내적, 로우 벡터와 칼럼 벡터의 곱으로 나타냄. 좌변을 나타낸다. 

 

- A라는 칼럼 벡터, 간단하게 표현하는 형태로 하나의 간단한 식으로 나타내고, 연립 방정식 푸는 것과 같다.

 

수명을 결정하는 몸무게, 키, 흡연 유무, 수명이라는 정보를 알았다면 이의 가중하부를 라이프-스팬의 최적의 계수를 찾으려 할 것이다.

 

- 선형식을 만들어 첫번째 식으로 방정식을 만들 수 있으며, 선형대수에서 벡터나 매트릭스로 직관적으로 쉽게 절차를 생각할 수 있게 툴을 사용한다.

 

- 개수를 다 모아놓은 매트릭스 A를 만들고, 이후에 2개의 벡터를 만드는데, 하나는 수명을 벡터로 햐는 것과 가중치를 나타낸 벡터, 세개의 연립 방정식은 간단하게 Ax = b로 나온다. 메트릭스 이쿼에이션, 선형대수적인 테크니션을 더하며, 쉽게 할 수 있는 방법은 역행렬을 활용하는 것이다.

 

- 정확하게 정의를 살피면 우선 Identity Matrix 정사각 행렬에서의 가운데 값은 1이고, 나머지 값은 0이 항등 행렬, 항등 행렬은 어떤 벡터와 곱해도 자기 자신이 나오기 때문이다.

 

- 항등 행렬을 사용해서 역행렬을 만들 수 있고, 역행렬이 정사각 행렬에서만 존재하는지, 직사각형에서도 존재하는지 질문을 할 수 있다.

 

- 역행렬을 논할 때는 정사각형 행렬만을 대상으로 하고, 주어졌을 때 해당 역행렬 왼쪽이나 오른쪽이나 곱했을 때 해답이 나온다.

 

- 왼쪽에 곱해진 매트릭스가 항등인가, 오른쪽에다 곱하면 항등 행렬이 안나오는 매트릭스가 나오는지 확인할 수 있다. 

 

- 역행렬을 어떻게 구하는지, 연립 방정식으로 알고리즘을 짤 수 있는 과정들이 존재하고, 자동으로 아이덴터티를 만들어낸다.

 

- 역행렬의 경우, 왼쪽에다가 곱해서 항등 행렬을 만들어낼 수 있을까, 3 by 2, 2 by 3 행렬이다. 

 

- 직사각 행렬에서는 아이덴터티를 만족하는 것을 하나만 찾을 수 있으며, 직사각 행렬에서는 한쪽에서만 만족하며, 둘다 만족할 수는 없다.

 

- 역행렬을 통해서 방정식을 구하며, 역행렬이 존재하면 솔루션은 유니크하게 존재하고, 판별식으로 부르는데, 2 by 2에서 값이 0이 되는 경우, 역행렬이 존재하지 않다고 봤다. determinant라고 하는데, 이 값이 0이 아니면 역행렬이 존재한다.

 

ad - bc = 0 / ad =bc

선형 결합

- p개의 벡터가 주어질 때, 이를 상수배를 해서 다 더해준다.

 

- 선형 결합의 계수로서 쓰이는 것은 3, -1을 결합. 

 

- 3차원 벡터가 되고, 선형 결합의 가중치는 실수만 다루게 되는데, 이는 0도 포함이 된다. 

 

- 선형 결합을 활용하여 3개의 연립방정식을 하나로 나타낼 수 있게 되었고, 벡터를 통해 나타낸다.

 

- 방정식은 가로와 세로를 묶어서 계산이 되었는데, 벡터를 활용한 벡터 방정식이 있으며, 이는 공간적인 시각을 제시하고, 방정식의 솔루션을 있을 것인지 따지는 기준으로 벡터 방정식을 설명한다. 

 

- 스팬은 선형 결합에서 각각 오던 재료 벡터가 있고, 3차원 상의 공간으로 있는데, 주어진 벡터를 갖고, 선형 결합을 한다.

 

- 가중치로서 쓸 수 있는 값을 자유롭게 쓰는 것. 모두 썼을 때 나오는 결과 벡터를 한데 다 모은 것이 스팬의 정의.

 

- 선형 결합의 벡터들의 집합이 스팬. 공간에서 가지는 정의를 보면 3차원 공간에서의 V1(1,2,3) V2(4,5,6). 평행 사변형 법칙이 있는데, (5,7,9) 개념이 있으며, 길이가 올라가게 되고, 평행 사변형을 만들어서 가중치를 어떻게 두냐에 따라 결과 벡터가 달라진다.

 

- 벡터들이 스트레칭하여 나오는 평면에 있는 모든 점들이 벡터를 갖고, 만들 수 있는 모든 집합.

 

- 스팬은 3차원 공간이라고 할때, 주어진 유한한 갯수의 벡터의 부분 집합(3차원으로서의 부분 집합) 얇은 평면, 이것이 스팬을 의미한다.

 

- 평행 사변형이 두개로만 평면을 펼칠 수 있고, 평면에 있는 점에다가 선을 통해서 길이를 짧고, 뒤로 갈 수 있게 해서 옮길 수 있게 한다.

 

- 스팬되는 부분 집합이 되는 것, 결국 세개 집합은 3차원 공간을 다 뒤덮게 되며, 스팬 자체가 된다. 

 

- 벡터들이 4차원이라고 하면 [1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8]. 4차원 공간의 집합이긴 하지만, 다 뒤덮을 수는 없는 것이다. 

 

- 4차원에서 3차원 벡터로 뒤덮기는 어려운데, 벡터 연립 방정식의 해가 존재할 것인지에 대해 이것이 3개의 벡터의 선형 결합이 되는 것이며, 주어진 벡터를 만족하도록 하는 것이다.

 

- 방정식으로 따로 따로 보는 것이 아닌 주어진 세개의 재료 벡터가 있고, 독립적으로 주어진 다른 벡터이다.

 

- 세개의 재료 벡터로 만들어진 스팬에 독립적인 벡터가 포함이 되어 있다면 재료 벡터의 선형 결합으로 할 수 있다. 

 

- 벡터가 2개가 있으면 얇은 평면에 바깥에 나와 있어서 어떤 선형 결합의 해당 없음에 방정식과 미지수의 계수를 알 수 있다.

 

- 벡터들이 살고 있는 벡터 공간은 크고, 재료 벡터는 전체 공간 크기에 비해서 주어진 벡터 갯수는 많이 없다. 

 

- 표현할 수 있는 평면은 10차원 공간에 비해 매우 작은데, 랜덤하게 찍혔을 때, 얇은 평면에 있게 되고, 이런 경우 방정식의 계수가 오리지널 차원을 의미한다.

 

- 주어진 벡터는 운영할 수 있는 미지수의 계수로 스팬의 계수로서 사용될 수 있다.

 

- 결론적으로 언제 해가 될 것인지에 대해 주어진 재료 벡터들에 포함될 때이며, 바깥에 있을 때 해당되지 않다.

 

- 방정식을 따로 따로 생각했었는데, 공간 자체에 입체에 평행사변형을 찾으면 되는 것이다.

 

- 행렬의 곱을 이해하는 4가지 시각을 배우면, 내적을 하는 것이고, 총 6번 따로따로 하며 매트릭스를 따로따로가 아닌 한방에 할 수 있는 곱을 따질 수 있다.

 

- 칼럼 벡터 3개와 기본적으로 a백터들과 백터들의 선형결합을 할 수 있음. 일반적인 행렬의 곱으로 본다면 왼쪽의 세개의 재료 벡터의 가중치의 [1, 2, 3]을 볼 수 있다.

 

- 일반적인 행렬이 아닌 여전히 3개가 있고, 한줄이 늘어났고, 두개의 매트릭스의 일반적인 곱셈을 볼 수 있다.

 

- 사이즈가 3 by 3 x 3 by 2이며, 결과 칼럼을 따로따로 생각해보면 일반적인 행렬 곱을 생각해보면 첫번째 만들어지는 결과 칼럼 행은 어떠한 영향을 끼치지 않으며, 두번째 칼럼 벡터를 만드는데에만 영향을 끼친다.

 

- 첫번째와 두번째 칼럼 벡터를 따로 본다면 첫번째를 x, 두번째를 y. 1, 2, 3. 두번째 칼럼 벡터는 동일한 재료로서 두번째 칼럼 벡터의 가중치만 다르게 해서 계산된다.

 

- 2개의 벡터들은 재료 벡터로서 쓰이는 칼럼 벡터들의 3개의 스팬 안에 포함된다.

 

- 선형 결합된 것을 재료 벡터로 쓰이는 것, 선형 벡터로 쓰이던 것이 나타나며. 벡터와 매트릭스가 주어지면 오른 쪽에서 나오는 재료는 행 벡터가 재료가 되고, 로우 벡터들의 선형결합을 통해 정의가 내려지게 된다.

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